МАТРИЦІ

Комутативність має місце лише у випадку коли матриці – квадратні і одна з них є оберненою до іншої, але про це мова піде в наступних статтях. Зараз постарайтеся розібратися з наведеним матеріалом, він стане Вам в нагоді при вивченні складніших операцій з матрицями.

Основні властивості визначників матриць

Для обчислення системи рівнянь часто доцільно використовувати метод Крамера. Він передбачає обчислення визначників матриць, іншого застосування визначникам важко придумати. На питання "Яка матриця має визначник?" можна відповісти коротко і однозначно – квадратна. Не можна знайти визначник прямокутної матриці, таких формул Ви просто не знайдете.

Визначником (детермінантом) будь-якої квадратної матриці A=(a_i,j) називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків елементів матриці a_i,j, взятих по одному з кожного рядка і стовпця з певним знаком. Цей знак рівний мінус одиниці (-1) в степені кількості інверсій номерів других індексів, коли перші впорядковані в порядку зростання. Визначник другого порядку рівний різницю добутків елементів головної та бічної діагоналі:

Визначник 3 порядку має 6 доданків з трьох множників у кожному. Формула для визначника четвертого порядку ще складніша і містить 4!=4*3*2=24 доданки, визначник п'ятого порядку утворюється сумуванням 5!=120 доданків, кожен з яких є добутком 5 елементів матриці, взятих відповідно до означення. Але на практиці визначники 4, 5 порядку теж не обчислюють за загальними формулами, а розкладають через мінори або спрощують, застосовуючи елементарні перетворення над визначниками. Останні базуються на властивостях визначників, які продемонструємо на прикладах.

.Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

3. Якщо у визначнику замінити місцями два сусідні рядки чи стовпці, то визначник змінить знак на протилежний. Важливим тут є слово сусідні, оскільки якщо змінити 1 і 2 рядки то матимемо –det(A), якщо 1 і 3 то знак зміниться двічі, а два рази –(–) рівний (+), матимемо det(A).

4. Значення визначника залишиться тим самим, якщо до будь-якого рядка (стовпця) додати інший, помножений на довільне число або лінійну комбінацію інших рядків.

Суть цього правила в тому, що всередині визначника можна виконувати певні маніпуляції, але при цьому не можна нічого робити з рядком чи стовпцем над яким робимо ці перетворення.

Приклад:                               A(1, 2,3; 4,5,7;3,3;1).

Якщо знайти детермінант матриці A за правилом трикутника, то він рівний det(A)=9.

Але при цьому буде чимало обчислень, тому спробуємо занулити частину елементів. Для цього від другого рядка віднімемо перший, і в отриманій матриці від третього рядка віднімемо другий. В результаті елементарних дій матриця перетвориться до наступної:

Тут наприкінці було використано розклад визначника через алгебраїчні доповнення до 3 рядка. Оскільки два елементи =0, то лише третій вносить вклад. Отже маємо det(A)=9, що рівно значенню за правилом трикутників. При знаходженні визначників четвертого та вищих порядків даний метод показує кращу ефективність ніж, для матриць 2, 3 порядку. З цієї властивості випливають наступні.

 Тут правило винесення спільного множника до рядка використано тричі + застосовано розклад визначника через алгебраїчні доповнення до третього рядка, що вилилося в обчислення одного мінору 2 порядку. Таким чином знайшли визначник і він рівний det(A)=2880.

Інше трактування правила - якщо деякий рядок чи стовпець детермінанта помножити на довільне число (k) , то значення визначника зміниться у (k) разів.

7. 

Сума попарних добутків елементів деякого рядка чи стовпця на відповідні алгебраїчні доповнення до іншого рядка чи стовпця визначника рівна нулеві.

Наприклад:

Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника записати у вигляді суми, то цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників.

Ця властивість є архіважливою при розписанні визначників 4, 5 порядку через алгебраїчні доповнення, що дозволяє понизити на одиницю порядок шуканих визначників. Так, замість одного визначника 4 порядку, потрібно знайти 4 визначники четвертого порядку.